单位名称变更后，劳动合同的签订日期可以是原来的日期。根据《劳动合同法》第三十三条和第三十五条规定，单位名称等变更不影响劳动合同履行，而劳动合同的变更应以书面形式协商一致，并由用人单位和劳动者各执一份变更后的劳动合同文本。
法律分析
单位名称变更后，劳动合同的签订日期还可以是原来的日期。
根据《劳动合同法》第三十三条规定，用人单位变更名称、法定代表人、主要负责人或者投资人等事项，不影响劳动合同的履行。
第三十五条规定，用人单位与劳动者协商一致，可以变更劳动合同约定的内容。变更劳动合同，应当采用书面形式。
变更后的劳动合同文本由用人单位和劳动者各执一份。
拓展延伸
单位名称变更后劳动合同签订日期的调整方式
单位名称变更对劳动合同签订日期的影响是一个需要关注的问题。在单位名称变更后，劳动合同签订日期可能需要进行调整。一种常见的调整方式是根据单位名称变更的实际生效日期来确定新的劳动合同签订日期。这意味着原本计划在单位名称变更前签订的合同可能需要延后或提前签订。另外，还需要考虑与劳动合同相关的其他事项，如薪资、福利待遇等是否需要进行相应调整。在进行调整时，应遵循相关法律法规，并与员工进行充分沟通和协商，确保合法合理地处理单位名称变更对劳动合同签订日期的影响。
结语
根据《劳动合同法》相关规定，单位名称变更不影响劳动合同的履行。对于劳动合同签订日期的调整，可根据单位名称变更的实际生效日期进行相应调整。需充分沟通协商，确保合法合理处理变更对签订日期及其他事项的影响。
法律依据
《劳动合同法》第三十三条
用人单位变更名称、法定代表人、主要负责人或者投资人等事项，不影响劳动合同的履行。
《劳动合同法》第三十五条
用人单位与劳动者协商一致，可以变更劳动合同约定的内容。变更劳动合同，应当采用书面形式。
变更后的劳动合同文本由用人单位和劳动者各执一份。
《劳动合同法》第三十三条
用人单位变更名称、法定代表人、主要负责人或者投资人等事项，不影响劳动合同的履行。
《劳动合同法》第三十五条
用人单位与劳动者协商一致，可以变更劳动合同约定的内容。变更劳动合同，应当采用书面形式。
变更后的劳动合同文本由用人单位和劳动者各执一份。